Definizione
Un punto \( x = c \) è un punto di non derivabilità per una funzione \( f(x) \) se la derivata \( f'(c) \) non esiste.
Tipi di Punti di Non Derivabilità
- Discontinuità: Il limite sinistro e destro della funzione non coincidono.
- Angolo: La funzione è continua in \( x = c \), ma i limiti delle derivate sinistra e destra non coincidono.
- Cuspide: La funzione è continua in \( x = c \), ma i limiti delle derivate sinistra e destra sono infiniti e di segno opposto.
- Punto a tangente verticale: La funzione è continua in \( x = c \), ma i limiti delle derivate sinistra e destra sono entrambi infiniti (dello stesso segno).
Passaggi per Identificare i Punti di Non Derivabilità
- Calcolo il limite della funzione \( f(x) \) a sinistra e a destra di \( x = c \). Se non coincidono, c’è una discontinuità.
- Se la funzione è continua in \( x = c \), calcolo i limiti delle derivate sinistra e destra di \( f(x) \):
- Se non coincidono, c’è un angolo.
- Se sono infiniti e di segno opposto, c’è una cuspide.
- Se sono infiniti dello stesso segno, c’è un punto a tangente verticale.
\[ \lim_{{x \to c^-}} f'(x) \quad \text{e} \quad \lim_{{x \to c^+}} f'(x) \]