Teorema di L’Hospital
Il teorema di L’Hospital aiuta a calcolare i limiti delle forme indeterminate \( \frac{0}{0} \) e \( \frac{\infty}{\infty} \). Se \( f(x) \) e \( g(x) \) sono due funzioni derivabili in un intervallo e \( \lim_{{x \to c}} f(x) = \lim_{{x \to c}} g(x) = 0 \) o \( \pm\infty \), allora:
\[ \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
a condizione che il limite a destra esista.
Teorema di Rolle
Il teorema di Rolle afferma che se una funzione \( f(x) \) soddisfa le seguenti condizioni:
- \( f(x) \) è continua in \([a, b]\),
- \( f(x) \) è derivabile in \((a, b)\),
- \( f(a) = f(b) \),
allora esiste almeno un punto \( c \) in \((a, b)\) tale che:
\[ f'(c) = 0 \]
Teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange, o teorema del valor medio, afferma che se una funzione \( f(x) \) è continua in \([a, b]\) e derivabile in \((a, b)\), allora esiste almeno un punto \( c \) in \((a, b)\) tale che:
\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \]