Definizione

Gli integrali di funzioni fratte coinvolgono funzioni della forma \( \frac{N(x)}{D(x)} \), dove \( N(x) \) e \( D(x) \) sono polinomi.

Casi:

1. Il Numeratore è la Derivata del Denominatore

Se \( F(x) = f'(x) \), allora:

\[ \int \frac{f'(x)}{F(x)} \, dx = \ln|F(x)| + C \]

Questo è un caso particolare dove l’integrale si riduce a una forma logaritmica.

2. Il Grado del Numeratore è Maggiore di quello del Denominatore

Se il grado di \( N(x) \) è maggiore o uguale al grado di \( D(x) \), dobbiamo prima effettuare la divisione dei polinomi:

1. Divido \( N(x) \) per \( D(x) \) ottenendo un quoziente \( Q(x) \) e un resto \( R(x) \):

\[ \frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)} \]

2. Integro separatamente i termini risultanti:

\[ \int \frac{N(x)}{D(x)} \, dx = \int Q(x) \, dx + \int \frac{R(x)}{D(x)} \, dx \]

Dove l’integrale del primo termine \( \int Q(x) \, dx \) è un polinomio e l’integrale del secondo termine può essere risolto ulteriormente utilizzando metodi standard per le funzioni razionali.