Definizione
L’integrazione per parti è una tecnica utilizzata per integrare il prodotto di due funzioni. Si basa sulla formula derivata dall’integrazione del prodotto di due funzioni.
Formula
La formula dell’integrazione per parti è data da:
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) – \int f'(x) g(x) \, dx \]
dove \( f(x) \) e \( g(x) \) sono funzioni di \( x \), \( f'(x) \) e \( g'(x) \) sono le loro rispettive derivate.
Passaggi per l’Integrazione per Parti
- Scegliere \( f(x) \) e \( g'(x) \) dalla funzione da integrare \( \int f(x) g'(x) \, dx \).
- Calcolare \( f'(x) \) e \( g(x) \) dove \( g(x) = \int g'(x) \, dx \).
- Applicare la formula: \( \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) – \int f'(x) g(x) \, dx \).
Esempio
Supponiamo di voler calcolare \( \int x e^x \, dx \).
- Scegliamo \( f(x) = x \) e \( g'(x) = e^x \).
- Calcoliamo \( f'(x) = 1 \) e \( g(x) = \int e^x \, dx = e^x \).
- Applichiamo la formula:
\[ \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x (x – 1) + C \]